system "clear"
print " "
print " "
print "============================================================"
print "			Os direitos do autor e a GPL  "
print "============================================================"
print "  "
print "Este programa é distribuido sob GPL. "
print "Se você não souber o que é a GPL, envie um e-mail ao autor "
print "                   tarcisio@member.ams.org "
print "mas em suma  quer dizer que você pode usar livremente o sistema"
print "de programas aqui mencionados, desde que esta informação seja mantida"
print "em todas as alterações que você fizer dos programas e das cópias que "
print "você deles fizer - é a proteção do direito autoral que não lhe impede"
print "de usar livremente o conhecimento mas que mantém na memória  quem "
print "participou de sua produção."
print "Este programa foi escrito por Tarcisio Praciano-Pereira "
print "professor da Universidade Estadual Vale do Acaraú - UeVA "
print "Laboratório de Matemática Computacional - Curso de Matemática "
print "Sobral - Ceará - Brasil " 
print "Aperte enter para continuar!"
pause -2
system "clear"


print "Este programa mostra o significado de usar polinômios de Taylor como"
print "aproximação polinomial, numa partição uniforme de passo 1."
print "Se você fizer uma aproximação polinomial de grau n, com polinômios de"
print "Taylor, de um polinômio de grau, a aproximação é perfeita, e também"
print "perfeitamente inútil, porque os polinômios de Taylor, todos vão coincidir"
print "com o polinômio aproximado, é isto que mostra o primeiro exemplo com um"
print "polinômio do grau 2. A razão disto é que se dois polinômios de grau n"
print "coincidirem sobre n+1 condições, eles são idênticos, e neste exemplo os"
print "dois polinômios de grau 2 coincidem sobre tres condições: valor no ponto,"
print "derivada no ponto, segunda derivada no ponto."
print "No segundo exemplo considerei uma função não polinomial para mostrar os"
print "saltos na aproximação polinomial usando polinômios de Taylor, cada um deles"
print "desenvolvido no primeiro ponto de cada intervalo."
print " "
print "O primeiro exemplo, polinômio de Taylor, de grau 2 de um polinômio "
print "do segundo grau."
print "Feche o terminal gráfico, para podermos continuar, quando eles "
print "aparecerem. "

print "Aperte enter para continuar!"
pause -2
 
pow(x,n) = x**n;  ## definindo potência em gnuplot

f(x) = 1 + pow(x,2);
df(x) =  2*x; 
ddf(x)= 2;

m = 0.5; n = 1.0/6.0;

x0 = -3; x1 = -2 ; x2= -1; x3 = 0; x4 = 1; x5 = 2; x6 =3;
P0(x) = f(x0) + df(x0)*(x - x0) + m*ddf(x0)*pow(x-x0,2)
P1(x) = f(x1) + df(x1)*(x - x1) + m*ddf(x1)*pow(x-x1,2) 
P2(x) = f(x2) + df(x2)*(x - x2) + m*ddf(x2)*pow(x-x2,2) 
P3(x) = f(x3) + df(x3)*(x - x3) + m*ddf(x3)*pow(x-x3,2) 
P4(x) = f(x4) + df(x4)*(x - x4) + m*ddf(x4)*pow(x-x4,2) 
P5(x) = f(x5) + df(x5)*(x - x5) + m*ddf(x5)*pow(x-x5,2) 
P6(x) = f(x6) + df(x6)*(x - x6) + m*ddf(x6)*pow(x-x6,2) 

g(x)=(x<x1)?P0(x):(x<x2)?P1(x):(x<x3)?P2(x):(x<x4)?P3(x):(x<x5)?P4(x):(x<x6)?P5(x):(x<4)?P6(x):0


print "O primeiro exemplo, polinômio de Taylor, de grau 2 de um polinômio "
print "do segundo grau."

print "Aperte enter para continuar!"
pause -2


plot f(x), g(x), 0

print "Aperte enter para continuar!"
system "clear"
pause -2

print "O segundo  exemplo, polinômios de Taylor, de grau 3 de uma função "
print "não polinomial  sobre [-3,3] com passo 1 ."
print "     f(x) = pow(x,3)*sin(x);    "



f(x) = pow(x,3)*sin(x);
df(x) = pow(x,3)*cos(x) + 3*pow(x,2)*sin(x);
ddf(x)= 6*pow(x,2)*cos(x) - pow(x,3)*sin(x) + 6*x*sin(x) 
dddf(x)=12*x*cos(x)-6*pow(x,2)*sin(x)-3*pow(x,2)*sin(x)-pow(x,3)*cos(x)+6*x*cos(x) +6*sin(x)

print "Redefinindo os polinômios parciais, para usar em cada intervalo. "


P0(x) = f(x0) + df(x0)*(x - x0) + m*ddf(x0)*pow(x-x0,2) + n*dddf(x0)*pow(x-x0,3)
P1(x) = f(x1) + df(x1)*(x - x1) + m*ddf(x1)*pow(x-x1,2) + n*dddf(x1)*pow(x-x1,3)
P2(x) = f(x2) + df(x2)*(x - x2) + m*ddf(x2)*pow(x-x2,2) + n*dddf(x2)*pow(x-x2,3)
P3(x) = f(x3) + df(x3)*(x - x3) + m*ddf(x3)*pow(x-x3,2) + n*dddf(x3)*pow(x-x3,3)
P4(x) = f(x4) + df(x4)*(x - x4) + m*ddf(x4)*pow(x-x4,2) + n*dddf(x4)*pow(x-x4,3)
P5(x) = f(x5) + df(x5)*(x - x5) + m*ddf(x5)*pow(x-x5,2) + n*dddf(x5)*pow(x-x5,3)
P6(x) = f(x6) + df(x6)*(x - x6) + m*ddf(x6)*pow(x-x6,2) + n*dddf(x6)*pow(x-x6,3)

print "Redefinndo a função  g que em cada intervalo é dada por um polinômio"
print "de Taylor. "

g(x)=(x<x1)?P0(x):(x<x2)?P1(x):(x<x3)?P2(x):(x<x4)?P3(x):(x<x5)?P4(x):(x<x6)?P5(x):(x<4)?P6(x):0

print "A sucessão de polinômios de Taylor em cada intervalo de medida 1 ."

print "Aperte enter para continuar!"
pause -2



set xrange [-3.2:3.2]
plot f(x),0,g(x)


print "Depois de visto o \"filme\" leia o script para entender o que "
print "aconteceu, e talvez depis volte a rodar até que você compreenda por"
print "os polinômios de Taylor não servem como aproximação polinomial. Em "
print "certa forma é porque eles são muito bons, e outra razão é que  "
print "dificilmente conseguimos muitas derivadas (de ordem alta) de um "
print "experimento, em um único ponto. No máximo conseguimos derivadas "
print "primeiras com razoável aproximação.  "
print "Aperte enter para finalizar !"
pause -2
system "clear"
quit